Hipoteza kontinuuma

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, hipoteza kontinuuma je hipoteza o mogućim veličinama beskonačnih skupova. Georg Cantor je uveo koncept kardinalnosti kako bi usporedio veličine beskonačnih skupova, i pokazao je da je skup cijelih brojeva strogo manji od skupa realnih brojeva. Hipoteza kontinuuma tvrdi sljedeće:

Ne postoji skup čija je veličina strogo između veličine skupa cijelih brojeva i veličine skupa realnih brojeva.

Ili matematički rečeno, ako uzmemo da je kardinalnost skupa cijelih brojeva ${\displaystyle |\mathbb {Z} |}$ jednaka ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (alef-nula) a kardinalnost realnih brojeva ${\displaystyle |\mathbb {R} |}$ jednaka ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$, hipoteza kontinuuma glasi:

${\displaystyle \nexists \mathbb {A} :\aleph _{0}<|\mathbb {A} |<2^{\aleph _{0}}.}$

Ovo je ekvivalentno sa:

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$

Realni se brojevi također nazivaju kontinuumom, pa otuda dolazi ime. Postoji i poopćena hipoteza kontinuuma, koja glasi:

Za sve ordinale ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$